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同样对于模糊集,类似扩张原理如下设映射:,则称映射:为从映射厂扩张的模糊变换。其隶属函数为则称映射广为从映射∫扩张的反向模糊变换。其隶属函数为称为的像称厂为的原像。关系及关系的合成在日常生活中,有许多事物是成对出现,且具有一定的顺序。设是两个集合,由的元素与的元素配成的全体序对组成一个集合,称为与的直积,记为关系定义:设的子集称为到的二元关系,则称与有关系,记为,若,则称与没有关系,记为,的特征函数为:石当时当时关系的表示可用矩阵表示,标志杆厂家矩阵中的元素或是或是称为布尔矩阵关系合成:设是到的关系,是到的关系,则称为关系与的合成,其特征函数为关系的合成可用矩阵表示其中:称为扎德算子,对于任意,例如“则模糊关系:模糊关系是普通关系的推广,例如“父子”是普通关系,两人彼此“熟悉则是模糊关系。
普通关系中表示有关系,表示没有关系,标志杆厂家而模糊关系用隶属度,表示相关程度设有论域,,称的一个模糊子集∈{为到的模糊关系,其隶属函数为映射,,井称隶属度,为关于模糊关系的相关程度模糊关系的合成:设有三个论域,是到的模糊关系,是到的模糊关系,与关系的合成是到的模糊关系,其隶属函数为:当论域有限时,模糊关系合成可转化成模糊矩阵的合成。模糊矩阵不再是布尔矩阵例如:生物种群与种群的密切程度为,种群与种群的密切程度为,则种群种群的密切程度为集合运算经典集合有并交余等运算。将经典集的运算推广到模糊集合,由于模糊集中没有点和集之间的属于关系,所以其运算的定义只能以隶属函数间的关系来确定。井:的隶属函数为,∈交:的隶属函数为∩∩,∈余:的隶属函数为,由于扎德算子是对隶属度进行取小取大运算,这样可能丢掉许多信息,根据需要,人们引进了其他一些新算子。
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